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Cours de l’ENS : Mini-cours de mathématiques

Organisé par : Viviane Baladi (ENS)

Les mini-cours de mathématiques sont des séries de trois ou quatre séances (hebdomadaires) données, sur des sujets variés, par des visiteurs du DMA (Département mathématiques et applications de l’ENS) ou par des mathématiciens de province ou étrangers invités spécialement. Constituant une présentation d’un domaine de recherche actuel, ils peuvent être l’occasion de nouer des contacts pour des étudiants de niveau master.
Depuis septembre 2008, ces mini-cours sont organisés par Viviane Baladi (DR CNRS/ENS).

Ressources en ligne

  • Mélanges - 1 (le 23 novembre 2009) — Sébastien Gouëzel
    Le mélange est un analogue déterministe (et asymptotique) de la notion d’indépendance en probabilités, qui apparaît naturellement dans l’étude de diverses classes de systèmes dynamiques. Pour illustrer la variété des outils et des résultats liés à cette notion, nous considérerons trois exemples significatifs :
    1) nous étudierons des systèmes de nature géométrique : les applications uniformément hyperboliques,
    2) nous étudierons des systèmes plus algébriques, les actions du groupe SL(2,R) pour lesquelles le mélange est automatique : c’est le théorème de Howe-Moore,
    3) pour finir, nous utiliserons des outils analytiques (en particulier de la théorie des opérateurs) pour comprendre plus en détail le cas des applications uniformément dilatantes du cercle.
    Éléments de bibliographie :
    • Viviane Baladi, Positive transfer operators and decay of correlations (English summary), "Advanced Series in Nonlinear Dynamics" 16, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2000.
    • Boris Hasselblatt, Anatole Katok, Introduction to the modern theory of dynamical systems (English summary), "Encyclopedia of Mathematics and its Applications" 54, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
    • Hubert Hennion, Loic Hervé, Limit theorems for Markov chains and stochastic properties of dynamical systems by quasi-compactness, "Lecture Notes in Mathematics" 1766, Springer Verlag, Berlin, 2001.
    • Ricardo Mané, Ergodic theory and differentiable dynamics, trad. du portugais par Silvio Levy, "Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete" 3 ["Results in Mathematics and Related Areas" 3] 8, Springer Verlag, Berlin, 1987.
    • Peter Walters, An introduction to ergodic theory, "Graduate Texts in Mathematics" 79, Springer Verlag, New York & Berlin, 1982.
    • Robert J. Zimmer, Ergodic theory and semisimple groups, "Monographs in Mathematics" 81, Birkhauser Verlag, Basel, 1984.
  • Mélanges - 2 (le 30 novembre 2009) — Sébastien Gouëzel

  • Mélanges - 3 (le 7 décembre 2009) — Sébastien Gouëzel

  • Mélanges - 4 (le 14 décembre 2009) — Sébastien Gouëzel

  • Les EDP hamiltoniennes et les équations des ondes à la surface de l’eau - 1 (le 8 février 2010) — Walter Craig
    Résumé du cours :
    I. EDP hamiltoniennes :
    I.1. un premier exemple : l’équation des ondes
    I.2. définition générale
    I.3. la conservation d’énergie
    I.4. exemples supplémentaires : l’équation de Schrödinger non linéaire (NLS), l’équation de Korteweg deVries (KdV), les systèmes de Boussinesq, les ondes à la surface de l’eau
    I.5. lois de conservations et crochets de Poisson
    II. Récurrence versus dispersion :
    II.1. cas compact : solutions périodiques, quasi périodiques et presque périodiques
    II.2. cas non compact
    II.3. structures cohérentes : solitons
    III. Théorie de transformations :
    III.1. le lagrangien et la transformation de Legendre
    III.2. transformations canoniques et formes symplectiques
    III.3. transformations élémentaires
    III.4. dérivations à partir des ondes à la surface de l’eau : Boussinesq, KdV, NLS
    IV. Formes normales
    IV.1. analyse de l’opérateur Dirichlet-Neumann
    IV.2. la formule de variation de Hadamard
    IV.3. résonances
    IV.4. la forme normale de Birkhoff pour N = 3
    IV.5. les formes normales de Birkhoff de plus haut ordre et une vision d’intégrabilité

  • Les EDP hamiltoniennes et les équations des ondes à la surface de l’eau - 2 (le 15 février 2010) — Walter Craig
    Éléments de bibliographie :
    • Ablowitz, M.J. & Segur, H. Solitons and the inverse scattering transform, Philadelphie, SIAM, 1981
    • Alvarez-Samaniego, B. & Lannes, D. "Large time existence for 3D water-waves and asymptotics", Invent. Math. 171 (2008)
    • Craig, W. "An existence theory for water waves, and the Boussinesq and Korteweg-deVries scaling limits", Commun. PDE 10/8 (1985), 787–1004
    • Craig, W. Problèmes de petits diviseurs dans les équations aux dérivées partielles, Paris, SMF, coll. "Panoramas & Synthèses", 2000
    • Craig, W., Guyenne, P. & Kalisch, H. "Hamiltonian long wave expansions for free surfaces and interfaces", Commun. Pure Applied Math. 58 (2005), 1587–1641
    • Craig, W. & Sulem, C. "Numerical simulation of gravity waves", Journal Comp. Physics 108 (1993), 73–83
    • Craig, W., Sulem, P.-L. & Sulem, C. "Nonlinear modulation of gravity waves: a rigorous approach", Nonlinearity 5 (1992), 497–552
    • John, F. Partial differential equations, New York, Springer-Verlag, 1982
    • Kuksin, S. Analysis of Hamiltonian PDE, Oxford, Oxford University Press, 2000
    • Landau L.D. & Lifschitz, E.M. Mechanics, Pergamon (1976)
    • Moser, J. & Zehnder, E. Notes on dynamical Systems (2005)
    • Zakharov, V.E. "Stability of periodic waves of finite amplitude on the surface of a deep fluid", J. Appl. Mech. Tech. Phys. 9 (1968)
  • Les EDP hamiltoniennes et les équations des ondes à la surface de l’eau - 3 (le 22 février 2010) — Walter Craig

Organisateurs

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Viviane Baladi (ENS)

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