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Séminaire Musique et mathématiques

Organisé par : Charles Alunni (ENS) et Moreno Andreatta (Ircam) et François Nicolas (IRCAM)

2006-2007 : Intellectualités mathématique et musicale
Séminaire mamuphi Musique, mathématiques et philosophie 2005-2006 : Questions de logiques
Si, pour les musiciens, « logique musicale » se dit en différents sens (consistance autonome de la musique comme « monde » ou « langage », dialectique spécifique du discours musical, stratégie à l’œuvre…), si, pour les mathématiciens, « logique » ne profile plus seulement une norme pour leurs énoncés mais la dynamique même de leur travail d’énonciation (une logique du processus mathématicien tout autant que du résultat mathématique), peut-on activer aujourd’hui des raisonances entre ces conceptions des logiques à l’œuvre ?
Comment faire jouer leur hétérophonie par-delà tel ou tel projet plus spécifique de « mathématiser » la logique musicale ou de « musicaliser » la logique mathématique ?
2004-2005
Si musique et mathématiques s’avèrent un long compagnonnage, depuis l’origine commune des théories musicale et mathématique au VI° siècle av. J.-C. jusqu’à l’époque la plus contemporaine, si penser la musique avec les mathématiques est ainsi une longue histoire où interviennent tour à tour arithmétique (nombres) et géométrie (figures), algèbre (écriture) et topologie (gestes), il convient d’interroger l’état présent de ces rapports à partir des questions musicales les plus actives.
Que la philosophie pointe nécessairement son nez en ce croisement (comme en atteste toute une généalogie, de Parménide et Platon jusqu’à Husserl et Lautman en passant par Descartes et Leibniz) ne doit pas dispenser le musicien d’interroger directement les mathématiques de son temps pour discerner ce qui d’elles peut clarifier, catégoriser, profiler les enjeux présents et à venir de son art.
Pour cette première année, on partira des formes de conscience spécifiquement mathématiciennes des rapports possibles entre musique et mathématiques.

Ressources en ligne

  • Esquisse d’une étude comparée entre l’avènement de la perspective (en peinture) et de celui du tempérament égal (en musique) (le 12 mars 2005) — Yves Hellegouarch

  • Un peu de théorie des groupes pour les tonalités musicales (le 12 mars 2005) — Michel Broué

  • Comment évaluer musicalement les théories mathématiques de la musique ? (le 16 avril 2005) — François Nicolas
    Comment évaluer musicalement les théories mathématiques de la musique ? L’exemple de la théorie de Mazzola
    On rappellera qu’une certaine mathématique joue un rôle nécessaire dans l’intellectualité musicale. On distinguera à ce titre deux affinités électives (partages d’écriture et de souci logique) et une raisonance privilégiée (le musicien est à l’école de la mathématique en matière de théorisation) parmi les différentes manières musiciennes de se mettre à l’écoute de la mathématique.
    On interrogera alors la situation singulière où le musicien est confronté à des théories mathématiques de la musique : comment évaluer musicalement de telles théories, en particulier ces théories mathématiques qui formalisent des théories musiciennes « naïves » ?
    Même si, contrairement au désir proprement mathématicien, il faut prendre acte que théories musiciennes et mathématiques ne commutent pas, on soutiendra qu’une théorie mathématique de la musique peut stimuler le musicien, entre autres par des extensions humoristiques et des intensions ironiques.
    On examinera sous tous ces angles la théorie mathématique de G. Mazzola — The Topos of Music —, tout spécialement ses théorisations du contrepoint, de la modulation et du geste.
    On conclura sur l’intérêt spécifique pour le musicien pensif d’une singulière figure subjective de mathématicien (à la suite d’H. Poincaré et H. Weyl...) qu’on proposera de nommer intellectualité mathématique.
  • Le rôle possible de la logique musicale dans une certaine intellectualité mathématique (le 16 avril 2005) — Guerino Mazzola
    Il est vrai que le but du travail des mathématiciens est de démontrer des théorèmes. Mais pour y arriver, le mathématicien doit parcourir un chemin dans un paysage d’idées et de procès qui relèvent du domaine de l’improvisation musicale plutôt que du mécanisme de la logique classique. La fameuse parabole de Grothendieck dans « Récoltes et Semailles » en témoigne.
    Symétriquement, faire ou composer de la musique est loin d’être un jeu esthétique mais relève d’une logique complexe. Le point crucial d’une telle logique est que le concept de vérité se réfère à ce qui est le cas. Or, ce qui est le cas en musique pointe vers un jeu dialectique d’opérateurs logiques. Loin de la situation classique, la logique musicale est liée à celle des topoi.
    La thèse de notre intervention sera que le procès créatif mathématicien, dans la mesure où il s’avère de nature musicale, est un procès de nature logique, précisément parce que la musique se fait dans une ambiance de logique toposique. Nous conjecturerons que, sous cette perspective, la démonstration de la vérité d’un énoncé peut être comprise comme passage à la limite, en partant d’une série de logiques toposiques et convergeant dans la logique classique.
  • Le triple du sens : postures, différences et bougés (le 21 mai 2005) — René Guitart
    La question du sens d’un discours n’est pas si différente de celle du sens d’une interprétation de musique. Pour entendre cela, expliquerons-nous, il faut y entendre le rôle de la vérité. Nous traiterons du sens des discours en termes de postures, différences et bougés, trois points en effet de nature musicale. Pour chaque point on verra comment une mise en œuvre mathématique de son principe est possible. Et puis on verra comment en fait, au plan mathématique, dans la perspective de la théorie des catégories, les trois points sont intimement reliés.
  • Des sons et des quantas (le 21 mai 2005) — Thierry Paul
    On se propose dans cet exposé de présenter diverses situations, issues du formalisme quantique et de l’expérience musicale, qui semblent relever de problématiques communes. En particulier sont discutés, sans toutefois les théoriser, le formalisme mathématique et la notation musicale, le rôle de l’aléatoire dans les oeuvres ouvertes et la mesure quantique, le phénomène temporel, et une brève allusion à la reproduction de l’œuvre musicale interprétée, en regard avec les idées de concept et énoncé en mathématiques.
  • La logique musicale de l’écoute : une logique stoïcienne de l’assentiment ? (le 15 octobre 2005) — François Nicolas
    Cet exposé privilégiera, parmi les trois sens possibles du mot logique en musique (structuration transcendantale du monde de la musique par l’écriture – dialectique du « discours musical » au gré des morceaux de musique – stratégie à l’œuvre en termes d’écoute), l’investigation du troisième.
    On posera pour cela que, si la musique est bien aussi un art, c’est au titre de l’écoute plutôt que de l’écriture ou du discours.
    Si logique il y a en musique, il convient donc de la localiser également dans ce qui rend possible qu’en musique l’écoute excède de toutes parts la plate réception d’une communication.
    Dans ce cas, il nous faut identifier les opérations musicales proprement logiques moins dans la capacité musicale de développer « un discours », de construire et déduire des « objets » via l’écriture, que dans son aptitude à convaincre l’auditeur qu’une pensée sensible est bien à l’œuvre au présent et qu’il y a sens à y adhérer.
    Ainsi, exhausser ce qu’est une stratégie musicale à l’œuvre reviendrait moins à démontrer une rigueur d’écriture et de grammaire (laquelle appelle un consentement calculé) qu’à montrer l’aptitude singulière de chaque œuvre à susciter l’adhésion de qui l’écoute au fil du temps.
    On soutiendra à ce titre que la logique musicale de l’écoute (troisième sens de la logique en musique) relève d’une logique de l’assentiment (dynamique et endogène) plutôt que d’une grammaire du consentement (en froide extériorité) : où l’on retrouvera la différence entre comprendre pas à pas une démonstration mathématique et s’approprier sa logique stratégique. Ce sera tout aussi bien soutenir que cette logique musicale est constituante (elle constitue son « écouteur » en l’incorporant à une place immanente que l’œuvre invente) plutôt que constituée (mise en rapport de places préexistantes et séparées, telles celles du pupitre sur l’estrade et du fauteuil au parterre).
    Pour explorer cette voie d’une logique musicale de l’assentiment, on se tournera vers la logique stoïcienne pour y discerner une dialectique de l’adhésion (sur des propositions « événementielles » plutôt que prédicatives).
    L’enjeu pour le musicien sera de profiler quelques nouveaux principes logiques pour la musique, non plus ceux - à la base de la dialectique musicale - qu’on a pu contraposer aux principes aristotéliciens (principes de non-identité, de contradiction contrainte et du tiers obligé) mais ceux qu’une « logique stoïcienne » ainsi comprise suggère quant aux conditions de possibilité d’une écoute musicale à l’œuvre.
  • La logique des diagrammes : médiatrice entre geste et formule ? (le 15 octobre 2005) — Guerino Mazzola
    Je propose un schéma programmatique de foncteurs adjoints sur le niveau des carquois et spectroides (théorie de Gabriel) et leur extension aux gestes pour décrire la relation des opérateurs de la musique et des mathématiques. Dans ce schéma, la logique toposique des carquois s’insère naturellement comme niveau diagrammatique du raisonnement.
  • Aspects géométriques du formalisme (le 12 novembre 2005) — Jean-Yves Girard
    On associe traditionnellement au formalisme l’idée d’une évacuation totale du sens ; il ne resterait que la cohérence logique, et donc la permission defaire à peu près n’importe quoi ; certains ne s’en sont pas privés.
    Cela n’est pourtant pas si simple : la manipulation du formalisme fait apparaître certains phénomènes géométriques. Il est alors raisonnable de demander au formalisme d’exprimer sa propre géométrie. Autrement dit, les règles logiques ont une géométrie, qui a sa propre logique, ses propres règles. Demander qu’il y ait identité entre les règles de la logique et la logique des règles, c’est vraiment très loin de la permissivité évoquée plus haut !
    Cette relecture géométrique du formalisme emmène de plus en plus loin de la logique habituelle.
  • S’orienter dans la pensée mathématique: l’art des conjectures (le 10 décembre 2005) — Yves André

  • Théorie de la théorie : esquisses ou topos ? (le 14 janvier 2006) — René Guitart
    Toute modélisation met en scène un accouplement général supposé d’une syntaxe à une sémantique, pour présenter tel champ d’activité comme le jeu des avatars concrets dudit accouplement.
    À l’entrée d’un travail de modélisation, se pose donc la question pré-logique [et la réponse choisie à cette question forcera la nature de la logique en cours ensuite] du poids que l’on accordera à la syntaxe ou à la sémantique, à la régulation voulue ou à la factualité prétendue, et laquelle de ces deux tendances sera affirmée être universelle.
    En les termes actuels de la théorie des catégories, l’alternative signifie : esquisses ou topos ? Il s’agit d’en exposer la distinction et l’alliance.
  • L’ouvrage d’Euler sur la théorie musicale (1739) : les principaux apports théoriques (le 25 février 2006) — Pierre Cartier

  • Temps logique et temps musical (le 11 mars 2006) — Jean-Baptiste Joinet

  • Dynamiques de pensée en mathématiques : principes de preuves vs. principes de construction (le 29 avril 2006) — Giuseppe Longo
    Une vision alphabétique des mathématiques s’est imposée dans l’analyse de leur fondements depuis plus d’un siècle. L’élémentaire simple, le nombre entier, pure notation, aurait dû tout fonder et tout engendrer, par un jeu de preuves formelles sans signification. Et cela à l’exclusion du geste qui construit dans l’espace, du sens qui organise le monde par des symétries, des invariants conceptuels et physiques.
    On reviendra sur un peu d’histoire et sur quelques problèmes contemporains pouvant en particulier permettre aux théoriciens de la musique de mettre en évidence des analogies avec des débats en musique.
  • Séminaire musique et mathématiques (le 20 mai 2006) — Aldo Giorgio Gargani
    [en raison d’un incident technique, les premières minutes de l’exposé n’ont pas été enregistrées]
  • Intellectualité mathématique et intellectualité musicale : convergences et divergences (à la lumière des écrits d’Henri Poincaré et Hermann Weyl) (le 14 octobre 2006) — François Nicolas
    Existe-t-il une « intellectualité mathématique » comme il existe, depuis 1750 (Rameau), une intellectualité musicale (essentiellement Schumann, Wagner, Schoenberg, Boulez) ? Quels en sont les traits constitutifs, les moments historiques cruciaux, les principales délimitations, les grandes intensions… ?
    On avancera sur ces points quelques hypothèses à la lumière d’une relecture des écrits d’Henri Poincaré et Hermann Weyl, en attachant une importance particulière à la clarification de la manière dont cette intellectualité mathématique s’articule à la philosophie proprement dite avec laquelle elle est le plus souvent confondue.
    Pour ce faire, on distinguera préalablement cette « intellectualité mathématique » du cas, tout à fait singulier, des écrits de mathématiciens qui se trouvent être également des philosophes (Russell, Whitehead…), comme des écrits de philosophes qui se trouvent être également des mathématiciens (Descartes, Leibniz, Husserl…).
    On appellera « intellectualité mathématique » les efforts du mathématicien pensif pour réfléchir, en intériorité et dans la langue vernaculaire, la spécificité de la pensée mathématique.
  • Mathématiques, musique et philosophie dans la tradition américaine : la filiation Babbitt/Lewin (le 18 novembre 2006) — Moreno Andreatta
    Nous allons présenter quelques aspects théoriques et métathéoriques de la tradition américaine (du sérialisme intégral de Milton Babbitt aux réseaux transformationnels d’Henry Klumpenhouwer) en essayant d’en discuter les hypothèses épistémologiques sous-jacentes et les implications philosophiques qui dérivent d’une telle démarche, aussi bien pour la théorie que pour l’analyse musicale.
    Le positivisme logique, et en particulier le Cercle de Vienne, a eu historiquement une influence directe dans l’émergence d’un paradigme mathématique en théorie de la musique aux Etats-Unis, comme le confirme une analyse comparée des principes des bases des deux courants de pensée.
    Cependant, nous allons montrer comment la réflexion théorique de Milton Babbitt ainsi que la démarche transformationnelle de David Lewin dépassent largement le paradigme langagier qui sous-tend le positivisme logique et engagent d’autres formes de relations entre la musique et les mathématiques.
    Pour cela nous allons nous appuyer sur deux exemples de dualité entre l’objectal et l’opératoire dans ce qu’on proposera d’appeler la filiation Babbitt/Lewin : la notion de Twelve-Tone System chez Babbitt et celle de Generalized Interval System chez Lewin.
    Nous esquisserons en conclusion les principes de base d’une interprétation de l’analyse transformationnelle et, en particulier, des réseaux de Klumpenhouwer (K-nets) à l’aide de la théorie des catégories et des topoï ainsi que les conséquences théoriques et philosophiques d’une telle formalisation.
  • Toute théorie est algébrique (le 9 décembre 2006) — René Guitart
    Il s’agit de mettre en relief le fait que d’une part, vue dans le langage des catégories toute théorie est de nature algébrique, c’est-à-dire est un jeu d’opérations et de combinaisons équationnelles, à un niveau suffisamment élevé, relativement à des arités dans l’organisation desquelles les quantifications sont absorbées, et que d’autre part, toujours vue dans le langage des catégories, en revanche l’invention de ces théories est principalement guidée par une pensée géométrique de la courbure.
  • Attractions borroméennes (le 27 janvier 2007) — Stéphane Dugowson
    L’étude des espaces connectifs, c’est-à-dire d’espaces dont la structure permet de considérer l’éventuelle connexité de leurs parties, conduit, outre les espaces topologiques ou les graphes, à considérer des espaces tels que le borroméen, souvent évoqué au séminaire Mamuphi.
    Après avoir présenté la structure monoïdale fermée que constitue la catégorie de ces espaces et l’attracteur qui donne son titre à cet exposé, nous énonçons en particulier la conjecture suivante : tout espace connectif fini admet une représentation par entrelacs.
    Nous présentons ensuite l’idée qu’une théorie de l’homotopie connective peut être élaborée en introduisant des temporalités connectives adaptées, dont la considération nous amène, à travers l’exemple d’une composition de Boulez, à proposer en conclusion une hypothèse philosophique concernant les relations entre musique et temporalité.
  • Mathesis universalis, logique de l’imagination et écriture symbolique (Descartes / Leibniz …Badiou) (le 10 février 2007) — David Rabouin

  • Gestes et mouvements en mathématiques (et en musique) (le 24 mars 2007) — Gilles Dowek

  • En quoi la philosophie de "Logiques des mondes" (Alain Badiou) peut servir au musicien (le 12 mai 2007) — François Nicolas
    En quoi la philosophie de Logiques des mondes (Alain Badiou) peut servir au musicien (ou les enjeux d’un matérialisme de type nouveau)
    A) Un enjeu proprement musical : dégager ce qui, de cette philosophie, peut orienter l’intellectualité musicale contemporaine à l’entame du nouveau siècle.
    Ce nouveau livre d’Alain Badiou en effet intéresse tout spécialement le musicien, non parce que la musique y occupe, pour la première fois, une place considérable (cette nouvelle place ne signifie pas que la musique est devenue une condition de la philosophie de Badiou mais simplement qu’elle opère ici, avec bien d’autres, comme exemple de ce qu’apparaître veut dire) mais parce que Badiou y traite pour la première fois des phénomènes et de la logique - selon ce qu’on pourrait appeler une phénoméno-logique - ce qui est naturellement plus proche des références spontanées du working musician que l’ontologie mathématique de L’être et l’évènement
    On tentera donc d’indiquer comment il est possible d’investir les principaux concepts de ce livre d’une part en les appropriant aux notions mathématiques de la théorie des topos (récemment thématisée par Y. André dans l’école de mathématiques pour musiciens et autres non-mathématiciens) et, d’autre part, en les faisant librement résonner en musique.
    B) Un enjeu plus philosophique : rehausser la proposition de ce qu’on propose d’appeler ici un matérialisme de type nouveau.
    La question d’une « dialectique matérialiste », opposée au « matérialisme démocratique », constitue en effet le cœur de l’ouvrage (au demeurant, ceci incite l’intellectualité musicale à clarifier ce qu’il en est de son propre rapport au matérialisme, à soutenir ainsi un matérialisme de l’œuvre plutôt que des musiciens et de leurs sociétés, un matérialisme de l’écoute plutôt que de la perception ou de la réception, etc.).
    Pour en prendre mesure, on examinera différentes dimensions du matérialisme dans Logiques des mondes en examinant cas par cas ses enjeux à la lumière de sa constitution dialectique contre un matérialisme relativiste et post-moderne :
    1. un matérialisme du sujet (via un corps de type nouveau), contre le matérialisme anthropomorphique des corps-langages ;
    2. un matérialisme du transcendantal, contre l’idéalisme du sujet constituant (Kant) ;
    3. un matérialisme de l’objet (via le caractère réel de tout atome), contre l’empirisme du virtuel (Deleuze) ;
    4. un matérialisme de la relation (via la clôture ontologique des mondes), contre l’empirisme d’une actualisation (Deleuze) et l’idéalisme de mondes dont la cohésion tiendrait à une transcendance ;
    5. un matérialisme de l’infini, contre le matérialisme de la finitude et de la mort ;
    6. un matérialisme de l’événement, contre le matérialisme journalistique des faits ;
    7. un matérialisme du monde tel que radiographié par l’évènement (via l’ensemble des points qui viennent l’espacer), contre le matérialisme historiciste.
    On rehaussera ce faisant la portée d’ensemble des deux thèses matérialistes au principe de « la logique atomique » : d’un côté une thèse (locale) sur l’atome et l’objet (ou « postulat du matérialisme »), de l’autre une thèse (globale) sur la relation et la complétude (ou « deuxième thèse fondamentale du matérialisme »). Ces thèses parachèvent en effet la synthèse matérialiste de l’être et de l’apparaître : avec elles, la détermination (principale) de l’apparaître par l’être fait retour (secondaire) de l’apparaître sur l’être, en sorte que la diversité phénoménale affecte désormais la structuration ontologique elle-même.
  • Des jets aux infiniment petits : quand l’intuition se mue en rigueur (le 1er décembre 2007) — Francis Borceux
    Intuitivement, une fonction f:R→R est continue en un point a lorsqu’une variation infinitésimale de x au voisinage de a provoque une variation infinitésimale de f(x) au voisinage de f(a).
    L’approche que F.W. Lawvere et A. Kock ont donnée de la notion d’infiniment petit est la suivante.
    Si x est petit, x2 est encore plus petit. Si x est très, très petit, x2 devient vraiment minuscule. Appelons donc "infiniment petit" un nombre x tel que x2=0.
    L’idée provient de la "théorie des jets" due à Ehresmann.
    Considérons toutes les fonctions passant par un point du plan, que rien ne nous empêche de prendre comme origine: donc f(0)=0.
    Avoir la même tangente à l’origine est une relation d’équivalence: une classe d’équivalence s’appelle un "jet". Le propre d’un tel jet est que si on l’élève au carré, on trouve le jet nul (la classe d’une fonction à tangente horizontale).
    Divers auteurs ont prouvé qu’en travaillant dans des topos ad hoc, on peut construire des anneaux R admettant des éléments de carré nul, que l’on peut penser comme étant les infiniment petits et grâce auxquels on peut développer la géométrie différentielle.
    Et de bons théorèmes de plongement prouvent que tout théorème démontré grâce à cette approche intuitive des infiniment petits est un théorème valide en géométrie différentielle classique.
  • La théorie des catégories : un outil d’analyse musicale aux yeux de la critique philosophique (le 15 décembre 2007) — Ralf Krömer

Organisateurs

Charles_Alunni

Charles Alunni (ENS)

Moreno_Andreatta

Moreno Andreatta (Ircam)

Équipe représentations musicales, Ircam - CNRS UMR 9912

François_Nicolas

François Nicolas (IRCAM)

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Séminaires de recherche

Atelier Apprentissage 2005–2006

Atelier Apprentissage 2006–2007

Atelier Mathématiques et biologie 2004–2005

Atelier Mathématiques et biologie 2005–2006

Atelier Mathématiques et biologie 2006–2007

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Les lundis de la philosophie

Séminaire Archéologie des sanctuaires celtiques

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Séminaire de l’ITEM : Genèses théâtrales

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Séminaire Histoire et philosophie des mathématiques

Séminaire Littérature et morale à l’âge classique

Séminaire Louis Pasteur de l’ENS : The design of photosynthesis

Séminaire MHD (SEMHD)

Séminaire Modélisation et méthodes statistiques en sciences sociales

Séminaire Musique et mathématiques

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Séminaire Philosophie et mathématiques

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Séminaire Vision artificielle / Équipe Willow

Séminaire Visualiser et modéliser le cerveau