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Séminaire Musique et mathématiques

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Des jets aux infiniment petits : quand l’intuition se mue en rigueur
Francis Borceux (univ. Louvain)

1er décembre 2007

Intuitivement, une fonction f:R→R est continue en un point a lorsqu’une variation infinitésimale de x au voisinage de a provoque une variation infinitésimale de f(x) au voisinage de f(a).
L’approche que F.W. Lawvere et A. Kock ont donnée de la notion d’infiniment petit est la suivante.
Si x est petit, x2 est encore plus petit. Si x est très, très petit, x2 devient vraiment minuscule. Appelons donc "infiniment petit" un nombre x tel que x2=0.
L’idée provient de la "théorie des jets" due à Ehresmann.
Considérons toutes les fonctions passant par un point du plan, que rien ne nous empêche de prendre comme origine: donc f(0)=0.
Avoir la même tangente à l’origine est une relation d’équivalence: une classe d’équivalence s’appelle un "jet". Le propre d’un tel jet est que si on l’élève au carré, on trouve le jet nul (la classe d’une fonction à tangente horizontale).
Divers auteurs ont prouvé qu’en travaillant dans des topos ad hoc, on peut construire des anneaux R admettant des éléments de carré nul, que l’on peut penser comme étant les infiniment petits et grâce auxquels on peut développer la géométrie différentielle.
Et de bons théorèmes de plongement prouvent que tout théorème démontré grâce à cette approche intuitive des infiniment petits est un théorème valide en géométrie différentielle classique.

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Francis Borceux Francis Borceux (univ. Louvain)